Основные научные труды А. А. Дородницына посвящены обыкновенным дифференциальным уравнениям, алгебре, метеорологии, вихревой теории крыла, теории пограничного слоя в сжимаемом газе, сверхзвуковой газовой динамике, численному методу интегральных соотношений, методу малого параметра для уравнений Навье-Стокса. Значительное внимание Дородницын уделял также различным вопросам информатики.
Изучил вопросы асимптотического поведения решений некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений.
Развил вихревую теорию крыльев сложных форм, предложил методы расчёта осесимметричных сверхзвуковых течений газа.
Разработал численный метод интегральных соотношений для решений уравнений в частных производных и методы численного решения уравнения Навье-Стокса.
Дал теоретическое описание воздушных течений над горными хребтами. Построил теорию пограничного слоя в сжимаемом газе.
